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Sagot :
Réponse :
bonsoir, c'est un exercice classique avec une explication méthodique des étapes à respecter dans l'étude d'une fonnction.
f(x)=2x*e^-x
Explications étape par étape
1)Df=R
2)Limites
si x tend vers -oo , f(x)tend vers -oo*+oo=-oo
si x tend vers +oo, f(x) tend vers+oo*0+=0+
3 L'axe des abscisses y=0 est une asymptote horizontale
4) Dérivée: f'(x) est une fonction produit u*v sa dérivée est donc u'v+v'u
u=2x u'=2
v=e^-x v'=-e^-x
f'(x)=2(e^-x)-(e^-x)2x=(e^-x)(-2x+2)= (-2x+2)e^-x
le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de -2x+2
f'(x)=0 pour x=1
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo 1 +oo
f'(x).....................+...................0................-....................
f(x)-oo.......croi.....................f(1)........décroi...............0+
f(1)=2/e =0,7 environ
5) Calculons f"(x); f'(x) est une fonction produit donc même formule que pour passer de f(x) à f'(x)
f"(x)=-2(e^-x)-(e^-x)(-2x+2)=(e^-x)(2x-4)=(2x-4)e^-x
f"(x) =0 si 2x-4=0 soit x=2
si x<2, f"(x)<0 donc f(x) est concave
si x>2, f"(x)>0 donc f(x) est convexe
6)Coordonnées du point d'inflexion( 2 ; f(2))
soit (2; 4/e²)
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