1. La fonction h est un polynôme de degré 3 définie et dérivable sur R. Pour tout réel x :
[tex]h'(x) = \frac{1}{9} *3x^{2} - 3*2x + \frac{128}{3} = \frac{1}{3}x^{2} -6x+\frac{128}{3}[/tex]
Pour étudier le signe de la dérivée on a recourt à deux méthodes :
Méthode 1 : Le signe de la dérivée ne depend que de la constante 6x. En effet, les autres termes de l'expression sont positifs (1/3x²), voire strictement positifs (128/3). => A partir de là on dresse le tableau de signe pour chacun des termes.
Méthode 2 : Le coefficient dominant du polynôme de degré 2 est positif, donc à l'extérieur des racines, le signe est positif, et à l'intérieur des racines, le signe est négatif quand ces racines existent.
Or, lorsqu'on calcule le discriminant du polynôme, Δ < 0. Ce qui signifie qu'il n'existe pas de racine réelle, et donc, le signe de la dérivée est du signe du coefficient dominant. On conclut que la dérivée est positive, et que la fonction est croissante.
2. D'après la réponse donnée à la question 1, Chloé a raison. Effectivement, la fonction h est croissante sur R.