Réponse :
bonsoir, j'ai l'impression que pour la question 2a) tu es un peu perdu et il manque la 2b) qui doit être les limites en- et +oo
Explications étape par étape
La fonction "ln" n'est pas définie pour les valeurs <0 il faut donc que (x²-9)/(x²+1) soit >0 d'où le Df ]-oo; -3[ U]+3; +oo[ (donné dans l'énoncé)
1) limites
si x tend vers -3 (avec x<-3) ; f(x) tend vers ln[(0+)/10]=-oo
si x tend vers +3 (avec x>3) f(x) tend vers ln[(0+)/10]=-oo
2a) (x²-9)/(x+1)=[x²(1-9/x²]/[x²(1+1/x²]
2b) après avoir simplifié par x² il reste (1-9/x²)/(1+1/x²) quand x tend vers +ou-oo, cette expression tend vers 1/1 soit 1. Et alors f(x) tend vers ln1=0
3)Dérivée: la dérivée de lnU(x) est U'(x)/U(x)
ce qui donne u'(x)=[2x(x²+1)-2x(x²-9]/(x²+1)²=(20x)/(x²+1)²
f'(x)=20x/[(x²+1)*(x²-9)]
le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de 20x
si x<-3 f'(x)<0 et si x>3,f'(x)>0
4) tableau de signes de f(x) et de variations de f(x)
x -oo -3 3 +oo
f'(x) .............-....................II II...........+............................
f(x) 0.........décroi..........-ooII II-oo........croi.................0
Les droites d'équation x=-3 et x=3 sont des asymptotes verticales et l'axe des abscisses (y=0) est une asymptote horizontale .
Nota: pour les limites en + ou - oo: dans l'expression on tient compte du rapport des coefficients des termes de plus haut degré.
qd tend vers +ou-oo (x²-9)/(x²+1) tend vers x²/x²=1 d'où la limite de f(x)=ln1=0 (règle connue)
