ange53
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Bonjour pouvais vous m'aider à faire l'exercice ? merci
Ex 1 :
Deux voitures prennent le départ en même temps
sur un circuit.
La plus rapide fait un tour en 84 secondes et
l'autre en 120 secondes.
Au bout de combien de temps se retrouveront-elles
de nouveau en même temps sur la ligne de départ ?​

Sagot :

Hasyata

Bonjour !

Ça c'est un exercice sur le PPCM, le plus petit commun diviseur.

Disons que t est le nombre de secondes nécessaires pour que les deux voitures se retrouvent ensemble sur la ligne de départ. Donc t divise 84 et t divise 120 (t est multiple de 84 et 120)

Donc : t = PPCM(84, 120)

Maintenant : comment calculer le PPCM de deux nombres ?

Déjà, on peut décomposer les deux nombres en produits de facteurs premiers.

84 = 2 * 42 = 2 * 7 * 6 = 2 * 7 * 2 * 3 = 2² * 3 * 7

120 = 2 * 60 = 2 * 2 * 30 = 2 * 2 * 2 * 15 = 2³ * 3 * 5

t est multiple des deux nombres, donc il y a dans sa décomposition les nombres premiers 2, 3, 5 et 7 forcément. Mais combien ?

Et bien, la puissance de chaque facteur premier dans la décomposition de t doit être égale au maximum des deux puissances de ce facteur premier dans les décompositions de 84 et 120. Comme ça :

84 = 2² * 3¹ * 5⁰ * 7¹

120 = 2³ * 3¹ * 5¹ * 7⁰

Donc :

t = 2³ * 3¹ * 5¹ * 7¹ = 840

On peut diviser t par 84 (840 / 84 = 10), et par 120 (840 / 120 = 7).

Les voitures se rencontreront sur la ligne d'arrivée 840 secondes (14 minutes) après le départ.

Voilà !

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