Il faut utiliser deux fois la réciproque du théorème de Thalès. On procède alors en plusieurs étapes :
1) On montre que (OE) est parallèle à (MA)
2) On montre que (UP) est parallèle à (TH)
3) On montre que (OE) est parallèle à (PU) avec les informations des deux autres étapes
1) Réciproque du théorème de Thalès dans cet exemple : si B,O, M et B,E,A sont alignés dans le même ordre et si alors (OE) et (MA) sont parallèles. Or, comme [BO] = [OM] et [BE] = [BA] alors . On a donc bien (OE) et (MA) qui sont parallèles.
2) Réciproque du théorème de Thalès dans cet exemple : si A,U,T et A,P,H sont alignés dans le même ordre et si [tex]\frac{AU}{AT} =\frac{AP}{AH}[/tex] alors (UP) et (TH) sont parallèles. Or, comme [BO] = [OM] et [BE] = [BA] alors [tex]\frac{AU}{AT} =\frac{AP}{AH} = 1[/tex]. On a donc bien (UP) et (TH) qui sont parallèles.
J'utilise la notation dans la suite: // = est parallèle à
3) On a donc (OE) // (MA) et (UP) // (TH). Mais comme les points M,A,T,H sont alignés, si (OE) // (MA), alors (OE) // (TH). Or, (UP) // (TH), on a par conséquence (OE) // (UP) !
Bon courage pour la suite et bonne nuit !
