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n désigne un nombre entier relatif.
On pose S= 2^2 * 3^3 * 4^4 * 5^5 * 6^6 / 60^n.

a) Montrer que S= 2^16-n * 3^9-n * 5^5-n.

b) Existe-t-il une valeur de n pour laquelle le nombre S est une puissance de 2 ?

UN GRAND MERCI POUR VOTRE AIDE !!​

Sagot :

jpmorin3

bjr

S= 2^2 * 3^3 * 4^4 * 5^5 * 6^6 / 60^n.

a)

on écrit le numérateur sous forme d'un produit de puissances de facteurs tous premiers

2² x 3³ x 4⁴ x 5⁵ x 6⁶ = 2² x 3³ x (2²)⁴ x 5⁵ x (2 x 3)⁶

                                  =  2² x 3³ x 2⁸ x 5⁵ x 2⁶ x 3⁶

                                  = 2¹⁶ x 3⁹ x 5⁵

de même pour le dénominateur : 60 = 2² x 3 x 5

60ⁿ =  (2² x 3 x 5)ⁿ = 2²ⁿ x 3ⁿ x 5ⁿ

quotient

         2¹⁶ x 3⁹ x 5⁵

S=   ------------------------ =   2¹⁶⁻²ⁿ x 3⁹⁻ⁿ x 5⁵⁻ⁿ

         2²ⁿ x 3ⁿ x 5ⁿ      

ce n'est pas l'expression qui est écrite dans l'énoncé

b)

S sera une puissance de 2 si et seulement si les exposants de 3 et de 5

sont nuls

 9 - n = 0 et 5 - n =0

    n = 9    et    n = 5           impossible

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