Bonjour,
Ton devoir est trop long, je vais te proposer une réponse pour la partie 3 et postes d'autres questions pour les autres parties.
1.
[tex]\displaystyle W_0=\int_0^{\pi/2} sin^0(x) \mathrm dx =\int_0^{\pi/2} \mathrm dx \\\\\boxed{W_0=\dfrac{\pi}{2}} \\\\\displaystyle W_1=\int_0^{\pi/2} sin(x) \mathrm dx =[-cos(x)]_0^{\pi/2} = 1\\\\\boxed{W_1=1}\\\\W_2=\int_0^{\pi/2} sin^2(x) \mathrm dx[/tex]
Il faut linéariser [tex]sin^2(x)[/tex]
Nous savons que, pour a et b réels quelconques,
[tex]cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)\\\\cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=1-sin^2(a)-sin^2(a)=1-2sin^2(a)\\\\sin^2(a)=\dfrac{1-cos(2a)}{2}[/tex]
De ce fait,
[tex]\displaystyle W_2=\int_0^{\pi/2} sin^2(x) \mathrm dx\\\\=\int_0^{\pi/2} \dfrac{1-cos(2x)}{2} \mathrm dx\\\\=\int_0^{\pi/2} \dfrac{1}{2} \mathrm dx-\int_0^{\pi/2} \dfrac{cos(2x)}{2} \mathrm dx\\\\=\dfrac{\pi}{4}-[\dfrac{sin(2x)}{4}]_0^{\pi/2}\\\\=\dfrac{\pi}{4}-0\\\\\boxed{W_2=\dfrac{\pi}{4}}[/tex]
2.
Pour n entier positif strictement plus grand que 1, faisons une integration par parties
[tex]v'(x)=cos(x)sin^{n-2}(x)\\\\v(x)=\dfrac{sin^{n-1}(x)}{n-1}\\\\u(x)=cos(x)\\\\u'(x)=-sin(x)[/tex]
Donc
[tex]\displaystyle \int_0^{\pi/2} cos^2(x)sin^{n-2}(x) \mathrm dx\\\\=\int_0^{\pi/2} cos(x) \mathrm d(\dfrac{sin^{n-1}(x)}{n-1})\\\\=[\dfrac{cos(x)sin^{n-1}(x)}{n-1}]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \dfrac{sin^n(x)}{n-1} \mathrm dx\\\\=\dfrac{W_n}{n-1}[/tex]
Or
[tex]\displaystyle \int_0^{\pi/2} cos^2(x)sin^{n-2}(x) \mathrm dx\\\\=\int_0^{\pi/2} (1-sin^2(x))sin^{n-2}(x) \mathrm dx\\\\=\int_0^{\pi/2} sin^{n-2}(x) \mathrm dx - W_n\\\\=W_{n-2}-W_n[/tex]
Donc
[tex]\dfrac{W_n}{n-1}=W_{n-2}-W_n \\\\\iff W_n=(n-1)W_{n-2}-(n-1)W_n\\\\\iff \boxed{W_n=\dfrac{n-1}{n}W_{n-2}}[/tex]
3.
Montrons que ces propositions sont vraies pour tout n
Initialisation. C'est vrai au rang p=1 pour la formule en 2p
[tex]W_2=\pi/2 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{W_0}{2}[/tex]
et au rang p=0 pour la formule en 2p+1
[tex]W_3=\dfrac{2}{3}W_0=\dfrac{2}{3}=\dfrac{2 \times 1}{2\times 1 +1}[/tex]
Hérédité
Supposons que cela soit vrai au rang p et montrons le au rang p+1
On utilise la relation de récurrence du 2. et il vient
[tex]W_{2p+2}=\dfrac{2p+1}{2p+2}W_{2p}\\\\W_{2p+3}=\dfrac{2p+1}{2p+3}W_{2p+1}[/tex]
En utilisant les hypothèse de récurrence nousa vons bien la proposition valable au rang p+1
Conclusion
Nous avons démontré par récurrence les relations demandées.
Et en faisant le rapport
les 2k se simplifient et
[tex](2k-1)(2k+1)=(2k)^2-1=4k^2-1[/tex]
d'où le résultat.
4. ne présente pas de difficultés, juste une calculatrice.
Merci