Réponse :
1) calculer les coordonnées des points K, L et M
vec(AK) = 1/2vec(AD)
soit K(x ; y)
vec(AK) = (x + 1 ; y - 3)
vec(AD) = (- 2+1 ; - 2-3) = (- 1 ; - 5) ⇒ 1/2vec(AD) = (-1/2 ; - 5/2)
x + 1 = - 1/2 ⇔ x = - 1/2 - 1 = - 3/2
y - 3 = - 5/2 ⇔ y = - 5/2 + 3 = 1/2
Donc les coordonnées de K sont : K(- 3/2 ; 1/2)
vec(LC) = 1/2vec(BC)
vec(LC) = (2 - x ; 4 - y)
vec(BC) = (2-1 ; 4 - 6) = (1 ; - 2) ⇒ 1/2vec(BC) = (1/2 ; - 1)
2 - x = 1/2 ⇔ x = 2 - 1/2 = 3/2
4 - y = - 1 ⇔ y = 5
les coordonnées de L(3/2 ; 5)
vec(MA) + vec(MC) = 0
vec(MA) = (- 1 - x ; 3 - y)
vec(MC) = (2 - x ; 4 - y)
(- 1 - x ; 3 - y) + (2 - x ; 4 - y) = 0
(1 - 2 x ; 7 - 2 y) = (0 ; 0) ⇔ 1 - 2 x = 0 ⇔ x = 1/2 et 7 - 2 y ⇔ y = 7/2
les coordonnées de M(1/2 ; 7/2)
2) les droites (AB) et (DC) sont-elles parallèles
les vecteurs AB et CD sont colinéaires ssi x'y - y'x = 0
vec(AB) = (2 ; 3) et vec(CD) = (- 4 ; - 6)
- 4 * 3 - (- 6) * 2 = - 12 + 12 = 0 donc les vecteurs AB et CD sont colinéaires on en déduit que les droites (AB) et (CD) sont parallèles
3) démontrer que les points K , L et M sont alignés
les vecteurs KL et KM sont colinéaires ssi x'y - y'x = 0
vec(KL) = (3/2 + 3/2 ; 5 - 1/2) = (3 ; 9/2)
vec(KM) = (1/2+3/2 ; 7/2 - 1/2) = (2 ; 3)
2*9/2 - 3 * 3 = 9 - 9 = 0
les vecteurs KL et KM sont colinéaires donc on en déduit que les points K ; L et M sont alignés
4) faire une figure pour contrôler vos résultats
je vous laisse le soin de faire la figure
Explications étape par étape