Réponse :
Initialisation et récurrence
Explications étape par étape
Initialisation
vérifions que l'inégalité est vraie au 1er rang (n=1):
U1 = (3 - 1) / 1 = 2
Vérifions si l'inégalité est vraie pour 2:
Elle sera vraie <=> 2/rac2 <= 2 <= 4/rac2
<=> 2 <= 2rac2 <= 4 (nombres positifs, on peut passer tous les membres au carré en conservant le sens de l'inégalité)
<=> 4 <= 8 <= 16, ce qui est vrai.
Donc l'inégalité est vraie au rang n=1
Récurrence.
Supposons que l'inég est vraie au rang n, montrons qu'elle sera vraie au rang n+1:
l'inégalité au rang n peut s'écrire:
2/racn <= (3+(-1)^n)/racn <= 4/racn on peut multiplier par racn qui est positif:
<=> 2 <= 3+(-1)^n <= 4
<=> -1 <= (-1)^n <= 1
Multiplions par (-1):
l'inégalité donne (on inverse les sens des inégalités puisqu'on multiplie par un négatif):
1 >= (-1)^(n+1) >= -1 ce qui s'écrit dans l'autre sens:
-1 <= (-1)^(n+1) <= 1
ce qui correspond à l'inégalité au rang n+1:
2/rac(n+1)<= (3+(-1)^(n+1))/rac(n+1)
Donc l'inégalité est vraie au rang n+1 si elle est vraie au rang n.
