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bonjour j'aimerai avoir de l'aide svp c'est pour un dm de maths je ne comprends pas cet exercice si quelqu'un pourrait m'aider j'ai du mal merci

Bonjour Jaimerai Avoir De Laide Svp Cest Pour Un Dm De Maths Je Ne Comprends Pas Cet Exercice Si Quelquun Pourrait Maider Jai Du Mal Merci class=
Bonjour Jaimerai Avoir De Laide Svp Cest Pour Un Dm De Maths Je Ne Comprends Pas Cet Exercice Si Quelquun Pourrait Maider Jai Du Mal Merci class=

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

On développe :

(x+1)²+4=x²+2x+1+4=x²+2x+5

(x+1)²+4 est toujours positif car somme de 2 nombres positifs ( ou nul pour (x+1) si x=-1).

Donc :

x²+2x+5 > 0

Donc :

Df=IR ( ensemble des réels).

2)

On a donc : f(0)=2/5.

On reporte f(0)=2/5  dans f(x)=2(x²+ax+b)/(x²+2x+5) :

2(0+0+b)/(0+0+5)=2/5

(2/5)b=2/5

b=(2/5)(5/2)

b=1

3)

Donc :

f(x)=2(x²+ax+1)/(x²+2x+5)

f(x) est de de la forme u/v avec :

u=2x²+2ax+2  donc u'=4x+2a

v=x²+2x+5 donc v '=2x+2

f '(x)=[(4x+2a)(x²+2x+5)-(2x²+2ax+2)(2x+2)] / (x²+2x+5)²

f '(x)=(4x³+8x²+20x+2ax²+4ax+10a-4x³-4x²-4ax²-4ax-4x-4) / (x²+2x+5)²

Tu vérifies ce que je viens de faire , tu  réduis et tu trouves ce qui est donné.

4)

On a donc :

f '(x)=[(4-2a)x²+16x+10a-4] / (x²+2x+5)²

Tangente horizontale en x=-3 implique f '(-3)=0

Ce qui donne :

[(4-2a)(-3)²+16(-3)+10a-4] / [(-3)²+2(-3)+5]²=0

[9(4-2a)-48+10a-4] / (9-6+5)²=0

Pour qu'une fraction soit nulle , il faut et il suffit que son numérateur soit nul.

Ce qui donne :

[9(4-2a)-48+10a-4]=0

Je te laisse développer et trouver :

-8a-16=0

Et à la fin :

a=-2

5)

On a donc :

f '(x)=[(4-2(-2))x²+16x+10(-2)-4] / (x²+2x+5)²

Tu arranges ça et tu trouves :

f '(x)=(8x²+16x-24)/(x²+2x+5)

Maintenant , tu développes :

8(x+3)(x-1)=8(x²-x+3x-3)=...

Je te laisse finir et trouver ce qui est donné.

6)

f '(x) est donc du signe du produit : (x+3)(x-1)

x+3 > 0 pour x > -3

x-1 > 0 pour x > 1.

Tableau de variation de f(x) :

x---------->-∞.....................-3.......................1..........................+∞

(x+3)----->.........-................0........+.......................+................

(x-1)------->........-..............................-...........0.........+...............

f '(x)------>.........+...............0..........-..............0........+..............

f(x)---------->.......C.............f(-3)........D............f(1)......C.........

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

On a donc :

f(x)=2(x²-2x+1)/(x²+2x+5)

Tu dois trouver ;

f(-3)=4 et f(1)=0 comme on le voit sur le graphique.

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