Réponse :
f(x) = 1 + 1/x Df = ]0 ; + ∞[
1) pour tout réel a > 0 , démontrer que f est dérivable en a et que
f '(a) = - 1/a²
τ(h) = [f(a+h) - f(a)]/h = ((1 + 1/(a+h) - (1 + 1/a))/h = (1/(a+h) - 1/a)/h
= (a - (a+ h))/a(a+h)/h = - h/a(a+h)h = - 1/a(a + h)
f(a+h) = 1 + 1/(a+h)
f(a) = 1 + 1/a
lim τ(h) = lim (- 1/a(a+h) = - 1/a²
h→0 h→0
or f '(a) = lim τ(h) = - 1/a²
h→0
donc f est dérivable en a et sa dérivée est f '(a) = - 1/a²
2) soit A un point de la courbe C d'abscisse a, démontrer que l'équation de la tangente T au point a est : y = (- 1/a²) x + 1 + 2/a
l'équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse a est :
y = f(a) + f '(a)(x - a)
= 1 + 1/a + (- 1/a²)(x - a)
= 1 + 1/a + (- 1/a²)x + 1/a
= (- 1/a²) x + 1 + 2/a
3) montrer que T passe par le point M si et seulement si : a² + 2 a - 3 = 0
T passe par le point M(3 ; 0) ⇔ y = 0 = (- 1/a²)*3 + 1 + 2/a
⇔ - 3/a² + 1 + 2/a = 0 ⇔ - 3/a² + a²/a² + 2 a/a² = 0
⇔ (- 3 + a² + 2 a)/a² = 0 ⇔ a² + 2 a - 3 = 0
donc T passe par le point M
4) résoudre cette équation et répondre au problème
a² + 2 a - 3 = 0 ⇔ a² + 2 a - 3 + 1 - 1 = 0 ⇔ a² + 2 a + 1 - 4 = 0
⇔ (a + 1)² - 4 = 0 ⇔ (a + 1 + 2)(a + 1 - 2) = 0 ⇔ (a + 3)(a - 1) = 0
or a > 0 donc l'équation possède une seule solution a = 1
donc en x = 1 ; l'avion abat le montre au point M
Explications étape par étape
