Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
S(r)=2πr² + 2/r
S ' (r)=4πr -2/r²
On réduit au même dénominateur :
S '(r)=(4πr³-2) / r²
S '(r) est donc du signe de : 4πr³-2 .
On va devoir résoudre :
4πr³-2=0
soit :
r³=2/(4π)=1/(2π)
La fct cube est continue et strictement croissante avec :
lim r³ =-∞ quand r tend vers -∞
et
lim r³ =+inf quand r tend vers +∞
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que α³=1/(2π).
On trouve α en tapant sur la calculatrice :
α=∛(1/(2pi)) ≈ 0.542
Donc sur ]-∞;α] , S ' ( r) est < 0 et sur [α;+∞[ , S ' (r) est > 0.
Variation :
r-------------->-∞..............................α...............................+∞
S ' (r)------->..................-.................0.............+..................
S (r)-------->................D.................S(α)............C..............
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
S(α) ≈ S(0.542) ≈ 5.536
Voir graph joint pour contrôle :
