Réponse :
Re bonjour
Explications étape par étape
1)
BON.
2) Tu as donc développer le membre de droite et tu as retrouvé celui de gauche.
3)
On va étudier le signe de : h(x)=f(x)-(3a²x-2a³)
soit :
h(x)=x³-3a²x+2a³
On a vu en 2) que :
h(x)=(x-a)(x²+ax-2a²)
Il faut faire un tableau de signes.
x- a > 0 pour x > a.
x²+ax-2a² est négatif entre les racines car le coeff de x² est > 0.
Δ=a²-4(1)(-2a²)=9a²
√(9a²)=3*|a| ==>3 fois la valeur absolue de "a". On va étudier deux cas selon le signe de "a".
Si a < 0 , alors |a|=-a et √(9a²)=-3a . Donc :
x1=(-a-(-3a))/2=a
x2=(-a+(-3a))/2=-2a
Tableau de signes (A noter que avec a < 0 , on a : a < -2a
car a < 0 et -2a > 0. OK ? ) :
x-------------->-inf....................a...................-2a...............+inf
(x-a)---------->...........-..............0.............+...............+..........
x²+ax-2a²-->..........+...............0...........-..........0..........+........
h(x)---------->.........-..................0...........-.........0.........+........
Sur ]-inf;-2a] , h(x) < 0 donc f(x) - (3ax²-2a³) < 0 et Cf au-dessous de T(a). Il y a point de tangence en x=a.
Sur [-2a;+inf[ , Cf au-dessus de T(a).
Si a > 0 , alors |a|=a et √(9a²)=3a
x1=(-a-3a)/2=-2a
x2=(-a+3a)/2=a
Et dans ce cas : -2a < a
Tableau de signes :
x----------------->-inf.................-2a..................a................+inf
(x-a)------------>...........-............................-.......0............+..........
x²+ax-2a²--->..............+..........0..........-.........0...........+........
h(x)------->...................-.............0........+...........0............+......
Sur ]-inf;-2a] , Cf au-dessous de T(a).
Sur [-2a;+inf[ , Cf au-dessus de T(a).
Après observation des deux tableaux de signes , on peut conclure :
Pour tout "a" réel :
Sur ]-inf;-2a] , Cf au-dessous de T(a).
Sur [-2a;+inf[ , Cf au-dessus de T(a).
Voir graph avec deux exemples :
En rouge : a=-2 donc T(-2) a pour équation y=12x+16.
En bleu : a=2 donc T(2) a pour équation y=12x-16.
