Exercice 4. Dans un jardin public se trouve un rocher volumineux ayant un côté plat au pied
duquel le responsable du jardin souhaite installer un bassin de forme rectangulaire dont un des
côtés sera le rocher et qui pourra accueillir des poissons.
Rocher
Le schéma ci-contre présente le projet vu de
dessus. La bordure du bassin sera constituée de
blocs de marbre. Pour que ce futur habitat de
poissons offre les meilleures conditions de vie
à ses occupants, il a estimé qu'il fallait pré-
voir une superficie de 80m2. Afin de limiter les
dépenses en marbre, il voudrait connaître les
dimensions que doit avoir le bassin pour que
la longueur totale de la bordure soit minimale
tout en conservant cette surface de 80m2.
Bassin
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on a
1. Soit x la longueur du côté Lị du bassin. On nommera b(x) la longueur totale de la bordure
(il n'y a pas de bordure le long du rocher). Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle ]0; 20),
80
b(x) = 2x +
2. Justifier que la fonction b est dérivable sur I, et déterminer '(x).
3. Etudier le signe de b'(x) sur I et en déduire les variations de la fonction b sur I (en
complétant ce tableau sur I =]0;20]).
T
0
20
Signe
de b(r)
0
Variations
de 6(x)
4. Quelle est la valeur exacte de o pour laquelle la longueur totale de la bordure b(x) est
minimale ? A quelle valeur de V(2) correspond-elle ?
