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Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cet exercice après plusieurs heures passée dessus. Pouvez vous m'aider ? Merci d'avance.

Soit fla fonction définie sur R parf(x)=-x^2 + 5x – 4. On note
C la représentation graphique de la fonction f dans le plan.

1. Étudier les variations de la fonction f.

2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de
C avec l'axe des abscisses.

3. Soit p un nombre réel.
Déterminer les valeurs de p pour lesquelles la courbe C et la
droite d d'équation y=x+p ont deux points d'intersection.

4. Déterminer les coordonnées exactes des points d'ordon-
née 1 de la courbe C.​

Sagot :

Réponse :

f(x) = x² + 5 x - 4

1) étudier les variations de la fonction f

    f(x) = x² + 5 x - 4

          = x² + 5 x - 4  + 25/4  - 25/4

          = (x² + 5 x + 25/4) - 41/4

          = (x - 5/2)² - 41/4

       x  - ∞                         5/2                       + ∞

    f(x)  + ∞ →→→→→→→→→ - 41/4 →→→→→→→→→→ + ∞

                  décroissante         croissante

2) déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des abscisses

        f(x) = 0  ⇔  (x - 5/2)² - 41/4 = 0  ⇔  (x - 5/2)² - (√41/4)² = 0

   ⇔ (x - 5/2 + √41/2)(x - 5/2 - √41/2) = 0 ⇔ x - 5/2 + √41/2 = 0

⇔ x = (5 -√41)/2   ou  x - 5/2 - √41/2 = 0 ⇔ x = (5 + √2)/2

les coordonnées sont :  ((5-√2)/2 ; 0)  et  ((5+√2)/2 ; 0)

3)  soit   p ∈ R

déterminer les valeurs de p pour lesquelles la courbe  C et la droite d  d'équation  y = x + p  ont deux points d'intersection

f(x) = y  ⇔  x² + 5 x - 4 = x + p   ⇔ x² + 4 x - 4 - p = 0

Δ = 16 + 4(4 + p) = 16 +16 + 4 p = 32  + 4 p  > 0  ⇔ 4 p > - 32  ⇔ p > - 32/4

⇔ p > - 8   ⇔ l'ensemble des valeurs de p  doit appartenir à l'intervalle      ]- 8 ; + ∞[        

4) déterminer les coordonnées exactes des points d'ordonnée 1 de la courbe C

    f(x) = 1 = x² + 5 x - 4   ⇔ x² + 5 x - 5 = 0

             Δ = 25 + 20 = 45  ⇒ √45 = 3√5

      x1 = - 5 + 3√5)/2    ⇒   ((-5 + 3√5)/2  ; 1)

      x2 = - 5 - 3√5)/2  ⇒ ((- 5-3√5)/2 ; 1)

Explications étape par étape

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