Bonsoir,
On raisonne par l'absurde. Si [tex]xy \in \mathbb{Q}[/tex] :
[tex]\mathbb{Q}^*[/tex] est stable par inverse donc, comme [tex]x \in \mathbb{Q}^*[/tex], [tex]\frac{1}{x} \in \mathbb{Q}[/tex] donc, comme [tex]\mathbb{Q}[/tex] est aussi stable par produit : [tex]\frac{1}{x} \times xy \in \mathbb{Q} \implies y \in \mathbb{Q}[/tex], d'où l'absurdité.
En détaillant un peu plus :
Si [tex]xy \in \mathbb{Q}[/tex], par définition, il existe un couple [tex](a_1,b_1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*[/tex] tel que [tex]xy=\frac{a_1}{b_1}[/tex].
De même, [tex]x \in \mathbb{Q}^*[/tex] donc il existe un couple [tex](a_2,b_2) \in \mathbb{Z}^*\times \mathbb{N}^*[/tex] tel que [tex]x=\frac{a_2}{b_2}[/tex].
On en déduit, comme [tex]a_2 \neq 0[/tex] : [tex]y=\frac{1}{x} \times xy=\frac{b_2}{a_2}\times \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_1b_2}{a_2b_1} \in \mathbb{Q}[/tex] donc [tex]y \in \mathbb{Q}[/tex], ce qui est absurde, car [tex]y \not \in \mathbb{Q}[/tex] par hyporthèse.
Ainsi, [tex]\boxed{xy\not \in \mathbb{Q}}[/tex].
