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Sagot :

Tenurf

Bonjour,

Comme le triangle est rectangle en B nous avons avec Pyhtagore

[tex]AB^2+BC^2=AC^2\\[/tex]

On aimerait bien faire apparaitre (AB+BC)

[tex](AB+BC)^2=AB^2+BC^2+2 AB \cdot BC[/tex]

Et nous pouvons aussi remarquer que

[tex](AB-BC)^2\geq 0\\\iff AB^2+BC^2-2AB\cdot BC \geq 0\\\\\iff AB^2+BC^2+2AB\cdot BC-4AB\cdot BC \geq 0\\ \\\iff (AB+BC)^2\geq 4AB\cdot BC\\\\\iff 2AB\cdot AC \leq \dfrac{(AB+BC)^2}{2}[/tex]

Ainsi notre première équation peut s'écrire

[tex]AB^2+BC^2=(AB+BC)^2-2AB \cdot BC= AC^2\\ \\(AB+BC)^2=AC^2+2AB\cdot BC \leq AC^2+\dfrac{(AB+BC)^2}{2}\\\\\iff \dfrac{2-1}{2}(AB+BC)^2\leq AC^2\\\\\iff (AB+BC)^2\leq 2AC^2\\\\\iff AB+BC \leq \sqrt{2} AC[/tex]

Car toutes ces valeurs sont positives.

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