Réponse :
Bonjour je reviens te donner mes explications
Exercice facile mais attention aux erreurs de calcul .Il faut travailler à l'aide d'un repère et avec précision dans les tracés pour vérifier les calculs.
Explications étape par étape
1)ABC est rectangle en B si les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires donc si le produit de leur coef. directeur =-1 soit a*a'=-1
(AB) a=(yA-yB)/(xA-xB)=1/2 donc a'=-2
(BC) a'=(yC-yB)/(xC-xB) soit -11/(x+6)=-2 solution x=-1/2
coordonnées de C(-1/2; -7)
2)Si M est le mileu de [AC]
xM=(xA+xC)/2=3/4 et yM=(yA+yC)/2=1/2 donc M(3/4; 1/2)
3) Si D est le symétrique de B par rapport à M , M est le milieu de [BD]
donc xM=(xD+xB)/2 ou xD=2xM-xB=15/2
yM=(yD+yB)/2 soit yD=2yM-yB=-3
coordonnées de D(15/2; -3)
4) le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et un angle droit c'est donc un rectangle.
5) Aire ABCD=BA*BC
BA=rac[( xB-xA)²+(yB-yA)²] tu dois trouver BA=4rac5
BC=même formule et tu,dois trouver BC=(11rac5)/2
Aire ABCD= (4rac5)*(11rac5)/2=............je te laisse les calculs
6-a) (z-6)(4z+19)=4z²+19z-24z-114=4z²-5z-114
sans intérêt pour la suite de l'exercice.
6-b) Si E a pour coordonnées E (z; z) cela signifie que E appartient à la 1ère bissectrice du repère soit à la droite y=x.
Pour déterminer les coordonnées des points E1 et E2 on a le choix entre
.* rechercher les points d'intersection du cercle de centre M et de rayon MA avec la droite d'équation y=x
*Calculer les coordonnées des points E tel que ME=rayon du cercle(=MA)
je prends la seconde car je ne sais pas si tu connais l'équation d'un cercle
Calcul de MA²=(xM-xA)²+(yM-yA)²=(5/4)²+(15/2)²=925/16
Il faut résoudre l'équation ME²=925/16
ME²=(z-xM)²+(z-yM)²=(z-3/4)²+(z-1/2)²=z²-3z/2+9/16+z²-z+1/4
ce qui nous amène à résoudre l'équation 2z²-(5/2)z-57=0
Je pense que tu connais la méthode via "delta" sinon il faut factoriser
delta=1849/4 et rac delta=43/2
les solutions sont donc z1=-19/4 =-4,75 et z2=6
les coordonnées des points E1(-19/4; -19/4) et E2(6; 6)
et tu peux le vérifier sur le repère
7) "Démontrer sans calcul" on ne peut rien démontrer mais seulement confirmer que MA, MB, MC;MC, MD, ME1, ME2 sont tous des rayons du cercle de centre M (3/4; 1/2) et de rayon r =(5rac37)/4
Les points A, B, C, D, E1, E2, sont cocycliques.