Réponse:
g(x)-f(x) =
[tex] {x}^{2} + x + \frac{1}{4} - \frac{5x + 4}{4x} = \\ {x}^{2} + x + \frac{1}{4} - \frac{5}{4} - \frac{1}{x} = \\ {x}^{2} + x - 1 - \frac{1}{x} = \\ \frac{ {x}^{3} + {x}^{2} - x - 1}{x} = [/tex]
d'autre part
(x-1)(x+1)² = (x-1)(x²+2x+1)
= x³ + 2x² + x - x² - 2x - 1
= x³ + x² - x - 1
donc
g(x) - f(x) =
[tex] \frac{(x - 1)( {x + 1)}^{2} }{x} [/tex]
pour tout x non nul.
2. on resout g(x)-f(x) = 0
<=>
(x-1)(x+1)² = 0 pour x≠0
x-1 = 0 ou x+1=0
x = 1 ou x=-1
Les courbes Cf et Cg se coupent aux points d'abscisse x=-1 et x=1
On dresse le tableau de signe de g-f
x |-∞ -1 0 1 +∞
x | - - 0 + +
x-1 | - - - 0 +
(x+1)²| + 0 + + +
g-f | + 0 + || - 0 +
Cg est au dessus de Cf sur ]-∞;-1[ sur ]-1; 0[ et sur ]1;+∞[
Cg est en dessous de Cf sur ]0;1[
3.
Derivons :
f'(x) = [5×4x-4(5x+4)]/(4x)²
f'(x) = (20x-20x-16)/(16x²)
f'(x) = -1/x²
et f'(-1)=-1
g'(x) = 2x+1
et g'(-1) = -1
D'apres la question 2, f(-1) = g(-1).
De plus f'(-1)=g'(-1) donc Cf et Cg admettent la meme tangente au point A d'abscisse -1.
L'equation de la tangente en A est y =f'(-1)(x+1)+f(-1) = g'(-1)(x+1)+g(-1)
y = -1(x+1)+ ¼
y = -x - ¾
