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Aujourd'hui, les chardons ont colonisé 300 m² d'un
jardin. Chaque semaine, la surface envahie augmente
de 4 % par développement des racines auquel s'ajoutent
13 m² dus à la dissémination des graines.
On note u, l'aire de la partie du jardin, en m?, envahie
par les chardons dans n semaines.
a) Indiquer la valeur de u, et justifier que pour tout
nombre n de N, 4n+1 = 1,044, +13.
b) (vn) est la suite définie sur N par vn = Un +325.
Démontrer que la suite (vn) est géométrique.
Préciser son premier terme et sa raison.
c) Pour tout nombre n de N, exprimer:
• V, en fonction de n;
un en fonction de n.
d) Avec le tableur ou la calculatrice, déterminer le
nombre de semaines au bout duquel les chardons
auront envahi au moins 600 m².

Sagot :

Réponse :

bonjour: quand tu recopies un énoncé fais le correctement "

"....N, 4n+1=1,044+13. " Cela n'a aucun sens.

C'est un exercice classique sur les suites.

Explications étape par étape

a)Chaque nouvelle  semaine la surface envahie augmente 4% par rapport à la surface de la semaine précédente +13m²

on a donc U(n+1)=Un+(4/100)Un+13=1,04Un+13

U(n+1)=1,04Un+13

b) on donne la suite Vn=Un+325 pour démontrer que Vn est une suite géométrique il faut vérifier que le rapport V(n+1)/Vn =Constante.

V(n+1)=U(n+1)+325=1,04Un+13+325=1,04Un+338

On remarque 338=1,04*325

ce qui donneV(n+1)=1,04(Un+325)  donc V(n+1)/Vn=1,04 (constante)

Vn est donc une suite géométrique de raison q=1,04 et de premier terme Vo=Uo+325=625

c) Vn=625*1,04^n

d) On  détermmine Un en fonction de n

on sait que Vn=Un+325 donc Un=Vn-325= 625*1,04q^n-325

Un=625*1,04*q^n -325

Je n'utilise pas de tableur mais je résous l'équation

625*1,04^n-325=600

soit 625*1,04^n=925

1,04^n=925/625=37/25

on passe par le ln

n*ln1,04=ln37-ln25

n=(ln37-ln25)/ln1,04=10 (environ)

n=10 semaines.

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