Bonsoir,
1) On a :
[tex] A=\sqrt{x^{2}+1}-\lvert x \rvert=\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}}>0 [/tex] par croissance de la fonction racine carrée.
Ensuite, remarquons que [tex] B=A+2\lvert x \rvert [/tex]. Comme [tex] A>0 [/tex] donc [tex] B>2\lvert x \rvert [/tex].
2) On a :
[tex] A\times B=(\sqrt{x^{2}+1}-\lvert x \rvert)(\sqrt{x^{2}+1}+\lvert x \rvert)=x^{2}+1-x^{2}=1 [/tex].
Donc [tex] A=\frac{1}{B}<\frac{1}{2\lvert x \rvert} [/tex] car [tex] B>2\lvert x \rvert [/tex].
3) D'après 1) :
[tex] A>0 \iff \sqrt{x^{2}+1}-\lvert x \rvert>0 \iff \sqrt{x^{2}+1}>\lvert x \rvert [/tex].
D'après 2):
[tex] A<\frac{1}{2\lvert x \rvert} \iff \sqrt{x^{2}+1}-\lvert x \rvert<\frac{1}{2\lvert x \rvert} \iff \sqrt{x^{2}+1}<\lvert x \rvert +\frac{1}{2\lvert x \rvert} [/tex].
Donc [tex] \lvert x \rvert < \sqrt{x^{2}+1}<\lvert x \rvert +\frac{1}{2\lvert x \rvert} [/tex]
Pas de calculatrice sous la main pour l'encadrement, mais le plus dur est déjà fait.
Bonne chance !
