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Bonjour ! Pouvez vous m’aider à résoudre cet exercice ?
Soit f
une fonction numérique définie sur N :
N →N
n —> f(n)
Montrer
par
récurrence si f
que
est strictement croissante sur N alors quelque soit n appartenant à N :f(n) >ou égal à n

Sagot :

ouaisouais

Ce que tu veux montrer c'est que pour tout n∈N,  f(n) ≥ n. On veut que tu raisonnes par récurrence.

Pour n∈N on pose Pn:" f(n) ≥n ".

Pour n=0: f(0)∈N alors par définition :  f(0) ≥ 0, d'où Po

Soit n∈N. On suppose Pn. Montrons Pn+1.

f est strictement croissante donc : f(n+1) > f(n) or f(n) ≥ n alors :

f(n+1) > n, de plus f(n+1)∈N donc il existe un n0 tel que : f(n+1) = n + 1 + n0 avec n0∈N donc : f(n+1) - (n+1) ≥ n0 ≥ 0,  alors f(n+1) ≥ n+1, d'où Pn+1.

Alors par récurrence pour tout n∈N, Pn ≡ Vrai

(Pn est une proposition alors elle a une valeur logique : Vrai ou Faux, le symbole '≡' est comme le '=' mais pour les propositions et leur valeurs logique)

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