Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Tu sais : je ne suis pas sûr d'avoir les capacités pour t'aider dans tous tes devoirs !!
Partie A :
1)
A(0;4) donc f(0)=4.
B(-1.5;1) donc f(-1.5)=1
2)
f(x)=(ax+b)exp(-x) +1
f(0)=4 donne :
(a*0+b)exp(0) + 1=4
b*1+1=4
b=3
Donc f(x)=(ax+3)exp(-x) + 1
f(-1.5)=1 donne :
(-1.5a+3)exp(1.5) + 1=1
(-1.5a+3)exp(-1.5)=0
Comme exp(-1.5) ≠ 0 alors (-1.5a+3)exp(-1.5)=0 implique :
-1.5a+3=0 qui donne :
a=3/1.5
a=2
Donc :
f(x)=(2x+3)exp(-x) + 1
Partie B :
1)
En -∞ , -x tend vers +∞ donc lim exp(-x) = + ∞.
2)
a)
(2x+3)exp(-x) + 1 =(2x+3)/exp(x) + 1=[2x/exp(x)] + [3/(exp(x)]+1
b)
La fct "exp(x)" impose sa limite par rapport à la fct "x".
Donc quand x tend vers +∞ :
lim [x/exp(x)] = 0
lim [3/(exp(x)]] = 0
lim ( [2x/exp(x)] + [3/(exp(x)]+1)=0+0+1=1
Ce qui prouve que la fonction f(x) admet une asymptote en +∞ qui est la droite D d'équation y=1.
c)
On résout :
(2x+3)exp(-x) + 1 =1 soit :
(2x+3)exp(-x) =0 qui implique :
2x+3=0 soit x=-1.5
Donc point d'intersection : B(-1.5;1)
d)
On va chercher le signe de f(x)-1 :
f(x)-1=(2x+3)exp(-x) + 1 -1=(2x+3)exp(-x)
Comme le facteur exp(-x) est toujours positif, f(x) -1 est du signe de (2x+3).
2x+3 > 0 pour x > -1.5
Sur ]-∞;-1.5[ : f(x) - 1 < 0 donc Cf au-dessous de D.
Sur ]-1.5;+∞[ , f(x)-1 > 0 donc Cf au-dessus de D.
Voir graph .
3)
La dérivée de 1 est zéro.
(2x+3)exp(-x) est de la forme : u*v avec :
u=2x+3 donc u'=2
v=exp(-x) donc v'=-exp(-x)
f '(x)=2*exp(-x)-exp(-x)(2x+3)
f '(x)=exp(-x)[2-(2x+3)]
f '(x)=exp(-x)(-2x-1)
4)
f '(x)=exp(-x)(-2x-1)
Donc f '(x) est du signe de (-2x-1).
-2x+1 > 0 pour x < 1/2
Variation :
x--------------->-∞..................................1/2.......................+∞
f '(x)------------>..................+..................0........-..............
f(x)-------------->-∞.....................C...........?.......D................lim =1
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
f(-0.5) ≈ 4.3
5)
A(0;4) donc équation de T :
y=f '(0)(x-0)+f(0)
f '(0)=-1
f(0)=4
y=-x+4
