Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, il faut préciser au préalable, s'il faut factoriser sur le corps des réels, c'est impossible car irréductible.
Sur le corps des complexes, 2 possibilités, utiliser les racines 4-ième de l'unité, ou remarquer astucieusement l'identité remarquable a² + b². Ainsi :
[tex]x^{4}+4 = (x^{2}+2i)(x^{2}-2i) = (x+i\sqrt{2i})(x-i\sqrt{2i})(x-\sqrt{2i})(x+\sqrt{2i})[/tex]
Dans l'idéal, on aime obtenir des expressions sous la forme z = a + bi.
Si on conserve des racines carrées de i, ça n'aura aucun sens, on commence donc par rechercher la racine de 2i :
[tex]\sqrt{2i} = \sqrt{2e^{i\frac{pi}{2}}} = \sqrt{2}e^{i\frac{pi}{4}}[/tex]
De même : [tex]i\sqrt{2i} = e^{i\frac{pi}{2}} * \sqrt{2} e^{i\frac{pi}{4}} = \sqrt{2} * e^{i\frac{3pi}{4}}[/tex]
Or :
[tex]e^{i\frac{pi}{4}}} = \frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{\sqrt{2} }{2}i[/tex], [tex]e^{i\frac{3pi}{4}} = - \frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{\sqrt{2} }{2}}i[/tex]
Donc :
[tex]\sqrt{2i} = 1+i[/tex]
Finalement :
[tex]x^{4}+4 = (x-1+i)(x+1-i)(x-1-i)(x+1+i)[/tex].
