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Bonsoir, pourriez-vous m'aider à trouver la limite de (4x^2-1)/(e^(-1/2x)-e) quand x tend vers -0,5 s'il vous plaît (sans utiliser la règle de L’Hospital, je précise que je ne suis pas encore censé la connaître)

Sagot :

Tenurf

Bonjour

Tout d'abord, nous savons que la fonction exponentielle est dérivable et donc

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{e^x-e^1}{x-1}=e^1[/tex]

C'est juste la définition du nombre dérivé en 1

Et quand x tend vers -1/2, -1/2x tend vers 1 donc c'est équivalent à

[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1/2} \dfrac{e^{-1/2x}-e^1}{-1/2x-1}=e^1\\\\\lim_{x\rightarrow -1/2} -2x\dfrac{e^{-1/2x}-e}{2x+1}=e[/tex]

Du coup, pour x différent de 0 et -1/2

[tex]\dfrac{4x^2-1}{e^{-1/2x}-e}}=\dfrac{(2x-1)(2x+1)}{e^{-1/2x}-e}}\\\\=-2x(2x-1) \times \dfrac{2x+1}{-2x(e^{-1/2x}-e)}\rightarrow \dfrac{-2\cdot(-1/2)\cdot(2\cdot (-1/2)-1)}{e}=\dfrac{-2}{e}[/tex]

La limite est donc -2/e

Merci

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