Réponse :
Partie A
on pose f(x) = (x - 4)² - 2(x - 4)(x - 1) pour x réel
1) a) Montrer que la forme développée de f(x) est : f(x) = - x² + 2 x + 8
f(x) = (x - 4)² - 2(x - 4)(x - 1)
= x² - 8 x + 16 - 2(x² - 5 x + 4)
= x² - 8 x + 16 - 2x² + 10 x - 8
= - x² + 2 x + 8
b) Montrer que la forme factorisée de f(x) est :
f(x) = - (x - 4)(x + 2)
f(x) = (x - 4)² - 2(x - 4)(x - 1)
= (x - 4)(x - 4 - 2(x - 1))
= (x - 4)(x - 4 - 2 x + 2)
= (x - 4)(- x - 2)
= - (x - 4)(x + 2)
2) Utiliser une des formes de f(x) pour répondre algébriquement aux questions suivantes
a) calculer f(4)
f(4) = - (4 - 4)(4 +2) = 0
b) résoudre l'équation f(x) = 0
f(x) = - (x - 4)(x + 2) = 0 produit de facteurs nul
x - 4 = 0 ⇔ x = 4 ou x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 ⇔ S = {- 2 ; 4}
c) résoudre l'équation f(x) = 8
f(x) = 8 ⇔ - x² + 2 x + 8 = 8 ⇔ - x² + 2 x = 0 ⇔ x(- x + 2) = 0
x = 0 ou - x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ S = {0 ; 2}
Partie B
1) quelles sont les valeurs prises par x ?
0 ≤ x ≤ 4
2) AM = 1 calculer dans ce cas l'aire grisée
(MN) // (AB) donc d'après le th.Thalès on a; DM/DA = MN/AB
MN = DM * AB/DA ⇔ MN = 3 * 4/4 = 3 cm
l'aire du triangle DMN est : A1 = 1/2)(3 x 3) = 9/2 = 4.5 cm²
l'aire du trapèze PNBC est : A2 = (1 + 4)/2) *1 = 5/2 = 2.5 cm²
l'aire grisée est : A3 = A - (A1+A2) = 16 - (4.5 + 2.5) = 9 cm²
3) démontrer que MN = 4 - x
th.Thalès : DM/DA = MN/AB ⇔ MN = DM * AB/DA
⇔ MN = (4 - x) * 4/4 = 4 - x
4) démontrer que l'aire de la surface grisée est égale à f(x)
A3 = 16 - (1/2((4 - x)*(4 - x) + (x + 4)/2)*x)
= 16 - (1/2(16 - 8 x + x²) + x²/2 + 2 x)
= 16 - (8 - 4 x + x²/2 + x²/2 + 2 x)
= 16 - (x² - 2 x + 8)
A3 = - x² + 2 x + 8
Donc A3 = f(x) = - x² + 2 x + 8
on utilise le résultat du 2.c
f(x) = 8 ⇔ - x² + 2 x + 8 = 8 ⇔ - x² + 2 x = 0 ⇔ x(- x + 2) = 0
x = 0 ou - x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ S = {0 ; 2}
pour x = 0 ⇒ f(x) = 8
pour x = 2 ⇒ f(x) = - 4 + 4 + 8 = 8
Explications étape par étape
