Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour, en premier lieu, tu peux utiliser les propriétés sur les puissances :
Soient a, b et c, trois réels quelconques, alors :
[tex]a^{b*c} = (a^{b})^{c}[/tex]
Ainsi : [tex]\sqrt{a^{2n}} = \sqrt{(a^{n})^{2}} = |a^{n}|[/tex] (toujours en valeur absolue !)
Ensuite on invoque la parité de n :
Si n est pair, alors il existe un entier k, tel que n = 2k.
Dans ce cas : [tex]|a^{n}| = |a^{2k}| = |(a^{k})^{2}|[/tex]
Un carré étant toujours positif, on peut s'affranchir de la valeur absolue. Si n est pair, on peut conclure que : [tex]|a^{n}| = a^{n}[/tex]
En revanche, si n est impair, n s'écrit sous la forme n = 2k+1. Ainsi :
[tex]|a^{n}| = |a^{2k+1}| = |a^{2k}*a| = |a^{2k}|*|a| = a^{2k}*|a|[/tex]
Ainsi, si n est impair, il suffit de prendre le terme n-1 qui sera pair (dont on s'affranchira de la valeur absolue), qu'on multiplie par la valeur absolue de a.
Conclusion :
n pair <==> [tex]\sqrt{a^{2n}} = a^{n}[/tex]
n impair <==> [tex]\sqrt{a^{2n}} = a^{n-1}*|a|[/tex]
