elisachou
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Exercice 2 :
Quatre amis, Marc, Serge, Fabio et Louis, essaient de découvrir le nombre de billes
contenues dans un sac. Voici les informations dont ils disposent :
Le nombre cherché est compris entre 1300 et 1500.
Marc, qui a rassemblé les billes par 2, dit que, à la fin, il lui restait 1 bille.
- Serge, qui a rassemblé les billes par 3, dit que, à la fin, tous ses groupes étaient
complets.
- Fabio, qui a rassemblé les billes par 5, dit que s'il avait eu 2 billes de plus, tous ses
groupes auraient été complets.
-Louis, qui a rassemblé les billes par 7, dit que, à la fin, il lui restait 4 billes.
Quel est le nombre exact de billes contenues dans le sac ?
Justifier votre réponse.bonjour auriez vous la gentilesse de m'aider merciiiiii​

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

Soit n le nombre de billes.

Le nombre cherché est compris entre 1300 et 1500. ==> 1300 ≤ n ≤ 1500

Marc, qui a rassemblé les billes par 2, dit que, à la fin, il lui restait 1 bille.

n=2*k1+1 ==> n+3=2*k1+1+3=2(k1+2)=2*a

Serge, qui a rassemblé les billes par 3, dit que, à la fin, tous ses groupes étaient complets.

n=3*k2 ==> n+3=3*b

Louis, qui a rassemblé les billes par 7, dit que, à la fin, il lui restait 4 billes.

n=7*k3+4 ==> n+3 =7*c

n+3 est donc un multiple de 2,3 et 7 : donc de 42 :

n+3=42*k ==> n=42*k-3

Fabio, qui a rassemblé les billes par 5, dit que s'il avait eu 2 billes de plus, tous ses groupes auraient été complets.

n=5*k4-2

5*k4-2=42*k-3

5*k4=42*k-1

k4=(42*k-1)/5 = 40k/5+(2k-1)/5 = 8k+(2k-1)/5

2k-1 doit être un multiple de 5 donc k=3 +5 * u

n=42*k-3=42*(3+5u)-3

n=123+210*u

1300 ≤ n ≤ 1500

1177 ≤ n-123 ≤ 1377

5*210+127  ≤ n-123 ≤ 6*210+117

==> (n-123)/210 = 6 et

n =123+6*210=1383

ngege83 avait finalement trouvé la bonne réponse

Réponse :

Explications étape par étape

Le nombre est impair (Marc)

Le nombre +2 doit être un multiple de 5 (Fabio)

donc le nombre se termine par 3.

On écrit tous les nombres impairs entre 1300 et 1500 qui se terminent par 3:

1303,,1313,,1323,,1333,1343,1353,,1363,,1373,,1383,,1393

1403,,1413,1423,,1433,1443,,1453,,1463,,1473,1483,1493

On garde ceux dont la somme est divisible par 3 (Serge):

1323, 1353, 1383, 1413, 1443  , 1473.

Enfin on enlève 4 aux nombres restant et on cherche celui qui est divisible par 7:    1319, 1349, 1379,, 1409, 1439  , 1469.

On trouve qu'il y a seulement 1379 (7 x 197).

Et donc le nombre est 1383

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