Réponse :
Bonjour , la courbe est convexe si la dérivée seconde f"(x) est>0
Explications étape par étape
f(x)=(x²+mx+3m/2)*e^-x
f(x) est un produit u*v sa dérivée est u'v+v'u
avec u=x²+mx+3m/2 u'=2x+m
v=e^-x v'=-e^-x
f'(x)=(2x+m)*(e^-x) -(x²+mx+3m/2)*(e^-x)
f'(x)=(e^-x)(2x+m-x²-mx-3m/2)
f'(x)=(e^-x)[-x²+x(2-m)-m/2]
on applique la même méthode pour déterminer f"(x)
u=-x²+(2-m)x-m/2 u'=-2x+2-m
v=e^-x v'=-e^-x
f"(x)=(-2x+2-m)*(e^-x)-[x²+(2-m)x-m/2]*(e^-x)
f"(x)= (e^-x)[-x²+x(-2-2+m)+2-m+m/2]
f"(x)=(e^-x)*[-x²+(m-4)x+2-m/2)]
f"(x) >0 si ( -x²+(m-4)x+2-m/2 )>0
le coefficient du terme en x² de ce polynôme du second degré est<0 (-1x²)
par conséquent pour qu ce polynôme soit >0 il faut qu'il ait deux racines ( il sera>0 entre les racines). Pour cela il faut que son discriminant soit >0
Delta =(m-4)²+4(2-m/2)=m²-8m+16+8-2m=m²-10m+24
Il reste à déterminer pour quelles valeurs de m ce discriminant est>0
delta'=100-96=4
solutions m1=(10-2)/2=4
m2=(10+2)/2=6
Conclusion si 4<m<6 la dérivée seconde f"(x) >0 et la courbe de f(x) est convexe.
Vérifie quand même mes calculs, mais compte tenu des valeurs de m trouvées (4 et 6) je ne pense pas avoir fait d'erreur de calcul.