Bonjour,
a) Pour résoudre cette équation différentielle, nous commençons par résoudre l'équation homogène à savoir P'-0,01P=0
Nous savons du cours que les solutions sont de la forme
[tex]ke^{0,01 \cdot x}[/tex]
avec k un réel quelconque
Pour trouver une solution particulière l'équation P'-0,01P=0,2 Nous allons chercher des fonctions P telles que
[tex]P(x)=k(x)e^{0,01 \cdot x} \\\\P'(x)=k'(x)e^{0,01 \cdot x}+0,01k(x)e^{0,01 \cdot x}\\ \\P'(x)-0,01P(x)=k'(x)e^{0,01 \cdot x}=0,2\\\\k'(x)=0,2e^{-0,01 \cdot x}\\\\k(x)=-200e^{-0,01 \cdot x}+c \\[/tex]
Et donc les solutions sont
[tex]P(x)=-200+ce^{0,01 \cdot x}[/tex]
Et comme P(0)=200 cela donne
[tex]\Large \boxed{\sf \bf P(x)=-200+400e^{0,01 \cdot x}}[/tex]
b)
Cherchons x tel que
[tex]P(x)=50000 \iff 400e^{0,01 \cdot x}=50200 \iff e^{0,01 \cdot x}=125,50\\\\x=100ln(125,5)=483,23... \rightarrow483\text{ arrondi a l unite}[/tex]
Ce qui fait environ 8 minutes et 3 secondes
Merci
