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On considère les suites (Un)≥0 et (Vn)≥0 définies par U0=7 et, pour tout entier naturel n,
Un+1=0,5Un+3 et Vn=Un − 6.1
a)Montrer que la suite (Vn)≥0 est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 1.2.
b)Pour tout entier naturel n, exprimer Vn en fonction de n.
c)En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de Un en fonction de n.

Sagot :

Macksiize

Alors on a :

1)a) [tex] \forall n \in \mathbb{N} [/tex] :

[tex] V_{n+1}=U_{n+1}-6=0,5U_{n}+3-6=0,5Un-3 [/tex].

Donc [tex]V_{n+1}=0,5(U_{n}-6)=0,5V_{n} [/tex].

Donc [tex] (V_{n})_{n\in\mathbb{N}} [/tex] est géométrique de raison [tex] 0,5[/tex] et de premier terme [tex] V_{0}=U_{0}-6=1 [/tex]

2)a) On a :

[tex] \forall n \in \mathbb{N}, V_{n}=1\times0,5^{n} [/tex].

Donc [tex] V_{n}=0,5^{n} [/tex].

b) On a :

[tex] V_{n}=U_{n}-6 \iff U_{n}=V_{n}+6 [/tex].

Donc [tex] U_{n}=(0,5)^{n}+6 [/tex].

Voilà, bonne journée.

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