Bonjour,
3)b) Considérons la proposition : [tex] P_{n} : "1 \leqslant U_{n+1} \leqslant U_{n}" [/tex].
Initialisation :
[tex] n=0, U_{0}=a, U_{1}=\frac{1}{2}a^{2}-a+\frac{3}{2} [/tex].
On a bien [tex]1 \leqslant U_{1} \leqslant U_{0}[/tex] (fais les calculs j'ai la flemme).
Hérédité : Soit [tex] n\in\mathbb{N} [/tex].
Supposons [tex] P_{n} [/tex] vraie.
On a :
[tex] 1 \leqslant U_{n+1} \leqslant U_{n} \iff f(1) \leqslant f(U_{n+1}) \leqslant f(U_{n}) [/tex] car la fonction [tex] f [/tex] est croissante sur [tex] [1;+\infty[ [/tex] .
Donc : [tex] (f(1)=1) 1\leqslant U_{n+1} \leqslant U_{n+1} [/tex].
Ainsi [tex] P_{n+1} [/tex] est vraie : [tex] P_{n} [/tex] est héréditaire et initialisée, donc [tex] \forall n \in \mathbb{N}, P_{n} [/tex] est vraie.
Voilà, bonne journée.
