Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour, les équations modulaires conduisent bien souvent, à des équations diophantiennes. Ici, dans Z :
x + 4 = -1 [7] équivaut à l'existence d'un entier y, tel que x + 5 = 7y.
Ainsi, il faut résoudre x - 7y = -5.
Comme 1 et 7 sont premiers entre eux, on sait déjà que cette équation admet des solutions, en vertu du théorème de Bezout.
A présent, il faut trouver un couple (x0, y0) de solutions particulières, soit par l'algorithme d'Euclide étendu, soit par "astuce".
On devine qu'en posant x0 = 2, et y0 = 1, on obtient x0 - 7y0 = -5.
Donc x - 7y = x0 - 7y0 = -5.
D'où x-x0 = 7(y+y0) <==> x-2 = 7(y+1).
Or, 1 premier avec 7, donc par le théorème de Gauss, 1 divise y+1. Il existe donc un entier k dans Z, tel que y+1 = k, on déduit y = k-1.
On remplace : x-2 = 7k, d'où x = 7k+2.
Ainsi, dans Z, les solutions générales sont de la forme :
S = {7k+2 ; k-1} k € Z.
Ainsi, en remplaçant x par 7k+2 dans l'équation de départ, on obtient bien 7k + 7 = 0 [7].
Désormais, en fonction de l'encadrement :
-50 <= 7k+2 <= 100 <==> -52 <= 7k <= 98 <==> -7,43 <= k <= 14.
En tenant compte de l'ensemble Z, les solutions du système sont :
S = {7k+2 ; k € [-7 ; 14] }
