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2. Soit la suite a d´efinie par a0 = 0, a1 = 1 et pour tout n > 1, an+1 =(an + an−1)/2

 

b) Montrer que pour tout n, an+1 = (−1/2)an + 1.

 

 

Sagot :

infovest

Demonstration par récurrence

 

a2=(0+1)/2=1/2=(-1/2)x1+1, donc c'est vrai au rang 2.

 

Supposons maintenant que c'est vrai au rang n, montrons que c'est vrai au rang n+1.

 

Si c'est vrai au rang n , alors a(n)=(-1/2)a(n-1) + 1, donc a(n-1)=-2(a(n)-1)

 

D'autre part a(n+1)=(a(n)+a(n-1))/2=(a(n) - 2 an(n) + 2 ) /2=(- a(n) + 2 )/2=(-1/2)a(n)+1 cqfd

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