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Bonjour ! J'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths de niveau terminale générale. Je me lance :
On a u₀= 2 // uₙ₊₁=[tex]-(1/2)u_n^2+3u_n-3/2[/tex] // et [tex]v_n=u_n-3[/tex]

Montrer que, que pour entier naturel n, v(n+1) = [tex]-1/2v_n^2[/tex]

Merci d'avance !!

Sagot :

maagikmatt

Réponse :

Un₊₁ = -0,5 Un² + 3 Un - 3/2

Si Vn = Un - 3  alors  Vn₊₁ = Un₊₁ - 3

Soit Vn₊₁ = (-0,5 Un² + 3 Un - 3/2) - 3

Vn₊₁ = -0,5 Un² + 3 Un - 9/2

Vn₊₁ = -0,5 * (Un² - 6 Un + 9)

Si Vn = Un - 3

Alors Vn² = (Un - 3)² = Un² - 6 Un + 9

Donc Vn₊₁ = -0,5 * Vn²

Explications étape par étape

Autre méthode :

On pose f(x) = -1/2 x² + 3x - 3/2 = -1/2 * (x² -6x + 3)

Delta = 36 - 4*3 = 36 - 12 = 24

x₁ = (6 - √24) / 2 = 3 - 2√2

x₂ = (6 + √24) / 2 = 3 + 2√2

Soit Un₊₁ = -1/2 * (Un - (3 - 2√2)) * (Un - (3 + 2√2))

Or Vn = Un - 3 ou Un = Vn + 3

Ce qui fait que Un₊₁ = -1/2 * (Vn - 2√2) * (Vn + 2√2)

Un₊₁ = -1/2 * (Vn² - (2√2)²) = -1/2 * Vn² + 4

Si Un = Vn + 3

Alors Un+1 = Vn+1 + 3

Soit Vn+1 + 3 = -1/2 * Vn² + 4

Vn+1 = -1/2 * Vn² + 4 - 3

Vn+1 = -1/2 * Vn² + 1

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