oceanecantaloube
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Exercice 2 (4 pts)
Soit la fonction f définie sur R par f(x)= x³ - 7x² + 3x – 2.
1°) En utilisant le taux d'accroissement, montrer que f est dérivable en 2. Que vaut f'(2) ?
2°) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
Rappel : (a + b)³ = a³ +3a²b+3ab² +b³​

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

Taux d'accroissement=T=[f(2+h)-f(2)] / h

f(2+h)=(2+h)³-7(2+h)2+3(2+h)-2

f(2+h)=8+3*4*h+3*2*h²+h³-7(4+4h+h²)+6+3h-2

f(2+h)=h³-h²-13h-16

f(2)=8-28+6-2=-16

T=[(h³-h²-13h-16)-(-16)] /h

T=h³-h²-13h/h

On simplifie par "h" qui est ≠ 0.

T=h²-h-13

Quand h tend vers zéro :

lim [f(2+h)-f(2)] / h= lim (h²-h-13)=-13

La limite existe donc f(x) est dérivable en 2.

Et  f '(2)=-13.

2)

y=f '(2)(x-2)+f(2)

y=-13(x-2)-16

y=-13x+10

Réponse :

il suffit d'appliquer la formule

f'(2)=nb dérivé en 2=limite quand h tend vers 0 de [f(2+h)-f(2])/h

puis celle donnant l'équation de la tangente y=f'(2)(x-2)+f(2)

Explications étape par étape

1) on remplace et on calcule en plus  il y la formule de l'identité remarquable (a+b)³

lim qd h tend vres0 de [(2+h)³-7(2+h)²+3(2+h)-2-2³+7(2²)-3(2)+2]/h

=(2³+12h+6h²+h³-28-28h-7h²+6+3h-2-8+28-6+2)/h

=(h³-h²-13h)/h=h*(h²-h-13)/h

lim qd h tend vers 0 de h²-h-13=-13

donc f'(2)=-13

2)y=-13(x-2)+f(2)

y=-13x+26+8-28+6-2=-13x+10

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