Bonjour,
Supposons que [tex]\sqrt{3}[/tex] soit un nombre rationnel.
Il peut donc s'écrire sous la forme irréductible
[tex]\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}[/tex]
avec p et q entiers (q étant non nul) et p et q permiers entre eux.
En élevant au carré, nous avons donc
[tex]3q^2=p^2[/tex]
Donc 3 divise [tex]p^2[/tex], or
3 divise [tex]p^2=>[/tex] 3 divise p
En effet, démontrons la contraposée, si 3 ne divise pas p, p s'ecrit sous la forme 3n+1 ou 3n+2 et alors
[tex]p^2=(3n+1)^2=3(3n^2+2n)+1\\ \\ou \ p^2=(3n+2)=3(3n^2+12n+1)+1[/tex]
et donc 3 ne divise pas [tex]p^2[/tex]
De ce fait, comme 3 divise p, il existe p' tel que p=3p' et donc
[tex]3q^2=(3p')^2=9p'^2 \iff q^2=3p'^2[/tex]
Donc 3 divise [tex]q^2[/tex] et donc 3 divise q
Mais alors, 3 divise à la fois p et q, donc p et q ne sont pas premiers entre eux, nous aboutissons à une contradiction. Donc [tex]\sqrt{3}[/tex] est un nombre irrationnel.
Supposons que [tex]2+\sqrt{3}[/tex] soit un nombre rationnel, il existe p et q entiers (q non nul) tels que
[tex]2+\sqrt{3}=\dfrac{p}{q} \\\\\iff \sqrt{3}=\dfrac{p}{q}-2=\dfrac{p-2q}{q}[/tex]
C'est impossible car [tex]\sqrt{3}[/tex] n'est pas un nombre rationnel
donc [tex]2+\sqrt{3}[/tex] est un nombre irrationnel
De même, avec p et q entier (q non nul)
[tex]\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}=\dfrac{p}{q} \iff \sqrt{3}=\dfrac{3p+2q}{q}[/tex]
contradiction
De même, avec p et q entiers non nuls
[tex]\dfrac1{\sqrt{3}-5}=\dfrac{p}{q} \iff \sqrt{3}-5=\dfrac{q}{p}\\\\\iff \sqrt{3}=\dfrac{q+5p}{p}[/tex]
Contradiction
