Réponse :
Les point projetés on des coordonnées x,y réponant à l'équation suivante : x² + y² = x_b² (cercle centré en 0;0 passant par A et B)
Explications étape par étape
Coucou,
En dessinant plusieurs points, ça sent le cercle.
on par de points très proches de A, plus on s'éloigne plus les points s'élèvent vers le haut jusqu'à la moitié du chemin vers B. ensuite les points redescendent jusqu'à toucher B.
Comme on possède l'internet mondaile, on sait que la formule d'un cercle est : (x-x_centre)² + (y-y_centre)² = rayon²
Nos point projetés semblent toujours avoir des coordonnées (x;y) qui répondent à la formule d'un cercle.
Il va falloir le prouver.
autant se faciliter la vie et dire que le centre est en 0;0 et que A et B sont sur l'axe des abscises (leur coordonné en "y" vaudra 0).
On aurait donc A en xa;0 et B en xb;0.
Cool, 0;0 se trouve pile entre A et B. On peut directement dire que xa=-xb.
Le rayon du cercel qu'ai aimerait vaut donc, par exemple, la longueur du trait qui part de 0;0 et qui s'arrête à B (xb;0))
Encore pratique puisqu'on a plein de 0, les longueures vont être simple à calculer ( Pythagore rapide) :
[tex]rayon = \sqrt{(x_b -0)^{2} + (0 -0)^{2} } = \sqrt{(x_b -0)^{2}} = x_b -0=x_b[/tex]
Le cercel qu'on aimerait répond donc à l'équation suivante :
(x-x_centre)² + (y-y_centre)² = rayon²
(x-0)² + (y-0)² = rayon²
x² + y² = x_b²
Bon ba maintenant il n'y a plus qu'à montrer que n'importe quelle triangle A, x;y , B est toujours rectangle au point (x;y).
Disons que le point "mobile" s'appel M. M a donc les coordnonnées x;y qui répondent à l'équation de notre cercle : x² + y² = x_b²
Triangle rectangle, ça me fait encore penser à Pythagore.
AM² + MB² = AB² ? Si oui, Pythagore est valide et le triangle auquel on l'a appliqué est bien rectangle en M.
AB² = diametre² = (2*rayon)² = 4*x_b² = (xb - xa)² = (xb - (-xb))²
AM² = (x-x_a)² + (y-y_a)² = (x - (-x_b))² + (y - 0)² = (x+x_b)² + y²
MB² = (x-x_b)² + (y-y_b)² = (x-x_b)² + y²
AM² + MB² = {(x+x_b)² + y²} + {(x-x_b)² + y²}
= (x+x_b)² + (x-x_b)² + y² + y²
= (x+x_b)² + (x-x_b)² + 2*y²
ici ça sens les identités remarquables :
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
AM² + MB²= (x+x_b)² + (x-x_b)² + 2*y²
= {x² + 2x*x_b + x_b²} + {x² - 2*x*x_b + x_b²} + 2*y²
= 2x_b² + 2*x² + 2*y²
= 2*(x_b² + x² + y²)
Par chance, on a dit que M ne pouvait se trouver que sur notre cercle.
On se rappel que x² + y² = x_b²
AM² + MB²= 2*(x_b² + x² + y²)
AM² + MB²= 2*(x_b² + {x² + y²} )
AM² + MB²= 2*(x_b² + {x_b²} ) = 2*2*x_b² = 4x_b²
On avait dit que AB² vallait 4x_b².
On a donc
AM² + MB²= 4x_b² = AB².
Pythagore est vérifié, les triangles AMB sont tous réctangle en M tant que M se touve sur notre cercle (x² + y² = x_b²).
L'approche fonctionne dans n'importe quel repère orthonormé. On est même pas obligé de centre note cercle sur 0 ou d'avoir A et B parrallèle à l'axe des abscices. Mais bon, autant placer/orienter le repère comme ça nous arrange.