Bonjour,
La méthode la plus simple pour comparer deux expressions, c'est comparer la différence de ces expressions à 0. Ainsi :
1)
a-b= 1/n - 2/n+1
= (n+1)/n(n+1) - 2n/n(n+1)
=(1-n)/n(n+1)
Or n est un entier tel que n>0, donc n(n+1)>0.
Comme n>0, n>=1 donc 1-n=<0.
Ainsi, on en conclut que (1-n)/n(n+1)<=0
Donc a-b<=0 d'où a<=b
2) Une autre methode pour comparer deux expressions : comparer leur quotient à 1, (à condition qu'ils soient strictement positifs). Ainsi, on a (a>0 et b>0) :
a/b=(n/(n+1))/((n+1)/(n+2))
=(n/(n+1)×((n+2)/(n+1))
=n(n+2)/(n+1)².
Or, n(n+2)=n²+2n et (n+1)²=n²+2n+1.
Donc, pour tout entier n>0, (n+1)²>n(n+2).
Ainsi, n(n+2)/(n+1)²<1 donc a/b<1
Donc a<b.
3) Enfin, une dernière méthode, par inégalités successives. Ici, on a pour tout n>0 :
(sqrt(x)=racinede(x))
n<n+1 <=> n/sqrt(n+1)<(n+1)/sqrt(n+1) (car sqrt(n+1)>0)
<=> n/sqrt(n+1)<sqrt(n+1)
<=> a<b
C'est la méthode la plus directe, mais qui ne fonctionne pas toujours (pour la 1) et la 2), ce n'est pas possible).
Voilà, bonne journée.
