Réponse :
bonjour f(x)=[ln(x+1)]/(x+1)
Explications étape par étape
1)Df: x+1 doit être >0 ceci pour ln et x+1 différent de 0 pour le quotient,
donc on prend la condition la plus restrictive x doit être>-1 Df]-1; +oo[
2) limites
a) si x tend vers-1 (avec x>-1) ln(x+1) tend vers-oo
et (x+1)tend vers 0+ donc f(x) tend vers -oo/0+=-oo
b) si x tend vers+oo , ln(x+1) tend verrs +oo et (x+1) tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo/+oo=FI mais par le th. des croissances comparées la fonction affine croît beaucoup plus vite que la fonction ln donc f(x) tend vers 0+
3) dérivée f(x) est de la forme U/v donc f'(x)=(u'v-v'u)/v² avec :
u=ln(x+1= u'=1/(x+1) et v=x+1 v'=1
f'(x)=[1-ln(x+1)]/(x+1)² le Df de la dérivée est le même que celui de f(x)
Signe de f'(x): il dépend uniquement du signe de 1-ln(x+1)
f'(x)=0 si 1-ln(x+1)=0
ln(x+1)=1 donc x+1=e x=e-1
f'(x)>0 si x<e-1 et f'(x)<0 si x>e-1
3) Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -1 e-1 +oo
f'(x) II................+......................0................-......................
f(x) II-oo........croi..............f(e-1) .......décroi.................0+
f(e-1)=ln(e)/e=1/e
"tangentes comprises" je pense que ce sont les asymptotes
la droite x=-1 est une asymptote verticale et la droite y=0 est ne asymptote horizontale
On note aussi que f(0)=ln1/1=0 la courbe passe par l'origine du repère
