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Bonjour tout le monde
Pourriez vous m'aider pour cet exercice en maths c'est pour demain

Merci d'avance


Bonjour Tout Le Monde Pourriez Vous Maider Pour Cet Exercice En Maths Cest Pour Demain Merci Davance class=

Sagot :

Réponse : Bonsoir,

a²-b² est premier, il a donc seulement deux diviseurs: 1, a²-b².

Il se décompose de deux façons:

i) [tex]a^{2}-b^{2}=1 \times (a^{2}-b^{2})[/tex]

Donc:

[tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=1 \times (a^{2}-b^{2})\\a-b=1 \quad ou \quad a+b=a^{2}-b^{2}\\a=b+1 \quad ou \quad a^{2}-b^{2}-a-b=0\\a=b+1 \quad ou \quad (a-b)(a+b)-(a+b)=0\\a=b+1 \quad ou \quad (a+b)[a-b-1]=0\\a=b+1 \quad ou \quad [a=-b \quad ou \quad a=b+1][/tex]

a=-b n'est pas possible car a et b sont des entiers naturels, donc a=b+1.

a et b sont donc consécutifs.

ii) [tex]a^{2}-b^{2}=(a^{2}-b^{2}) \times 1[/tex]

Donc:

[tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=(a^{2}-b^{2}) \times 1\\a-b=a^{2}-b^{2} \quad ou \quad a+b=1\\a^{2}-b^{2}-a+b=0 \quad ou \quad a+b=1[/tex]

Comme a et b sont des entiers naturels, alors seuls a=0, et b=1 ou a=1, et b=0, vérifient a+b=1, a et b sont donc consécutifs.

Puis:

[tex]a^{2}-b^{2}-a+b=0\\(a-b)(a+b)-(a-b)=0\\(a-b)(a+b-1)=0\\a-b=0 \quad ou \quad a+b-1=0\\a=-b \quad ou \quad a+b=1[/tex]

a=-b n'est pas possible, car a et b sont des entiers naturels, et on a vu que a+b=1, impliquait a=0, b=1, ou a=1, b=0.

a et b sont donc consécutifs.

Conclusion: a²-b² premier implique que a et b sont consécutifs.