Réponse :
Justifier de même que le produit de 2 nombres impairs est impair
soit m = 2 p + 1 et m' = 2 p' + 1
compléter :
mm' = (2 p + 1)(2 p' + 1) = 4 pp' + 2 p + 2 p' + 1
= 2(2 pp' + p + p') + 1
conclure : donc mm' est un nombre impair
en déduire en utilisant les 2 propriétés ci-dessous
le carré d'un nombre pair est un nombre pair et inversement
le carré d'un nombre impair est un nombre impair et inversement
justifier que √2 n'est pas rationnel
on suppose que √2 est rationnel; alors il existe 2 entiers a et b premiers entre eux tel que √2 = a/b (a/b est une fraction irréductible)
√2 = a/b alors (√2)² = a²/b²
donc a² = 2 b²
on en déduit que a est pair
comme a est pair, il existe a' tel que a = 2 a'
donc a² = (2 a')² = 4 a'²
donc 4 a'² = 2 b² donc b² = 2 a'²
donc b est pair
Quelle contradiction a-t-on obtenu ? il est possible de simplifier a/b par 2 ce qui contredit l'hypothèse que a et b sont premiers entre eux c'est à dire que la fraction a/b est irréductible
conclure : puisque l'hypothèse √2 est rationnel conduit à une contradiction donc √2 est irrationnel
Explications étape par étape
