Bonjour, pour la première question, il suffit de remarquer que f(x) est la fonction valeur absolue. On a donc f(x) = x pour tout x > 0 et f(x)= -x pour tout x < 0. ( verifiable sur le graphique de l’énoncé.
1)a. La sécante (OM) a donc pour equation y=x d’où une pente avec un coefficient directeur positif égal à 1.
b) Il faut calculer la limite du taux d’accroissement au point d’abscisse de M pour déterminer si f est dérivable en ce point.
lim lorsque h tend vers 0 de : (f (h+h) - f(h)) / h = (f(2h) - f(h))/h
Or f(2h) = 2h car h est positif et f(h)=h de la même façon
On obtient lim lorsque h tend vers 0 : (2h-h)/h = h/h= 1 = f’(h)
On a donc f dérivable au point d’abscisse h de M
2)Même raisonnement en faisant attention au signe de h
3) lim lorsque h tend vers 0 : (f(h)-f(0))/h = 1 . Cependant, on a f continue mais le taux d’accroissement à gauche de 0 =-1 (question 2) n’est pas égal à celui à droite de 0 = 1 (question 1) donc f n’est pas dérivable en 0. On peut le vérifier graphiquement car au point 0 il n’est pas possible de trouver une tangente unique à la courbe.
J’espère avoir pu t’aider, bonne journée !
