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Bien le bonjour
Dans un repère orthonormé, MNP est un triangle
rectangle en N tel que M(-6; -1), N(3;2), P(4 ; - 1).
a) Déterminer les coordonnées du point Q tel que
MNPQ soit un rectangle.
b) Calculer la mesure de l'angle NMP. Arrondir à l'unité.
c) Déterminer les coordonnées du milieu I du seg-
ment (MP) et vérifier que l est le centre d'un cercle qui
passe par les points M, N, P, Q.

Merci

Sagot :

Réponse :

a) Xi= [tex]\frac{Xm+Xp}{2}[/tex]     Yi=[tex]\frac{Ym+Yp}{2}[/tex]

       =[tex]\frac{ -6+4}{2}[/tex]           = [tex]\frac{-1+(-1)}{2}[/tex]

       = -1                        = -1

donc: I(-1 ; -1)

Pour que MNPQ soit un rectangle il faut que I soit le milieu de [NQ]

donc: Xi=[tex]\frac{ Xn+Xq }{2}[/tex]             Yi=[tex]\frac{Yn+Yq}{2}[/tex]

          -1 = [tex]\frac{3+Xq }{2}[/tex]               -1=[tex]\frac{2+Yq}{2}[/tex]

           -1=( [tex]\frac{3+Xq}{2}[/tex]) ×2        -1= ([tex]\frac{2+Yq}{2}[/tex])×2

           -1=3+Xq                 -1=2+Yq

           -4= Xq                   -3=Yq

Q(-4 ; -3)

b)   MN= [tex]\sqrt{(Xn-Xm)^2 + (Yn-Ym)^ 2\\}[/tex]    NP=[tex]\sqrt{(Xp-Xn)^2+ (Yp-Yn)^2}[/tex]

     MN= [tex]\sqrt{(3-(-6))^2+ (2-(-1))^2}[/tex]         NP= [tex]\sqrt{(4-3)^2+(-1-2)^2}[/tex]

     MN= [tex]\sqrt{9^2+ 3^2\\}[/tex]                                       NP= [tex]\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}[/tex]

     MN= [tex]\sqrt{81+9}[/tex]                                        NP= [tex]\sqrt{1+9}[/tex]

     MN=[tex]\sqrt{90}[/tex]                                               NP= [tex]\sqrt{10}[/tex]

   Donc: MN=[tex]\sqrt{90}[/tex] et NP=[tex]\sqrt{10}[/tex]

TanNMP=[tex]\frac{cote oppose}{cote adjacent}[/tex]

TanNMP=[tex]\frac{NP}{MN}[/tex]

TanNMP=[tex]\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{90}}[/tex]

TanNMP≅18°

Explications étape par étape

a) MNPQ est un rectangle donc : les diagonales de [MP] et [NQ] ont le même milieu I. I est le milieu de [MP]

b) Il faut calculer les longueurs MN et NP par exemple puis nous utiliserons la tangente car MN est le coté adjacent et NP est le coté opposé.

c) Ils sont calculés dans la question a). Pour la question du cercle il faut le faire a partir du point I et voir si il passe par tous les points.

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