Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
f est de la forme : u*v avec :
u=t² donc u'=2t
v=exp(-0.1t) donc v'=-0.1exp(-0.1t)
f '(t)=exp(-0.1t)*2t-exp(-0.1t)*t²
f '(t)=exp(-0.1t)(2t-0.1t²)
f '(t) est donc du signe de : -0.1t²+2t.
Cette expression est positive entre ses racines car le coeff de t² est négatif.
On cherche les racines :
-0.1t²+2t=t(2-0.1t)
2-0.1t=0 pour t=2/0.1=20
Les racines sont donc t=0 et t=20.
t---------->0.....................20.........................60
f '(t)----->...............+...........0...........-..............
f(t)------>0............C......≈54134.......D.......≈8.924
2)
a)
f '(t)=exp(-0.1t)(-0.1t²+2t)
u=exp(-0.1t) donc u '=-0.1exp(-0.1t)
v=-0.1t²+2t donc v '=-0.2t+2
f "(t)=-0.1*exp(-0.1t)(-0.1t²+2t)+exp(0.1t)(-0.2t+2)
f "(t)=exp(-0.1t)(-0.1)(-0.1t²+2t)+exp(0.1t)(-0.2t+2)
f "(t)=exp(-0.1t)(0.01t²-0.2t)+exp(0.1t)(-0.2t+2)
f "(t)=exp(-0.1t)(0.01t²-0.2t-0.2t+2)
f "(t)=exp(-0.1t)(0.01t²-0.4t+2)
f "(t)=(0.01t²-0.4t+2)exp(-0.1t)
b)
f "(t) est donc du signe de : 0.01t²-0.4t+2
expression qui est négative entre ses racines car le coeff de t² est > 0.
Δ=(-0.4)²-4(0.01)(2)=0.08
t1=(0.4+√0.08)/0.02 ≈ 34
t2=(0.4-√0.08)/0.02 ≈ 6
t-------->.....................6......................15
f "(t)--->............+.........0............-............
f "(t) s'annule et change de signe pour t≈6 , ce qui prouve que la fct f(t) a un unique point d'inflexion pour t≈ 6 sur [0;15]
c)
La vitesse de propagation de la maladie est croissante jusqu'au sixième jour puis cette vitesse commence à décroître ensuite bien que le nombre de malades , lui, augmente toujours (mais moins vite donc ).
Graph de f(t) non demandé en pièce jointe.
