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Sagot :
Réponse:
Bonjour. Pour montrer qu'une suite est décroissante il faut faire Un+1-Un.
Il faut réutiliser le résultat de la première question pour répondre à la deuxième.
Explications étape par étape:
Un+1 = (5(n+1)-3)/(2(n+1)+1)
=(5n+5-3)/(2n+2+1)
=(5n+2)/(2n+3)
Donc Un+1-Un =(5n+2)/(2n+3) - (5n-3)/(2n+1)
Pour additionner/soustraire deux fractions il faut mettre au même dénominateur : quand on ne voit aucun lien entre les deux dénominateurs on peut utiliser le produit des deux :
(5n+2)/(2n+3) = ((5n+2)(2n+1))/((2n+3)(2n+1))
On a multiplié par (2n+1) en haut et en bas
=(5n*2n+5n*1+2*2n+2*3)/(2n*2n+2n*1+3*2n+3*1)
On a développé
=(10n^2+9n+6)/(4n^2+7n+3)
On peut faire la même chose avec (5n-3)/(2n+1) en multipliant par (2n+3) des deux côtés. On aura alors deux fractions au même dénominateur qu'on peut soustraire. Le nominateir et dénominateur seront positifs donc Un+1-Un est positif donc la suite est croissante.
2) Comme la suite est croissante Un est toujours plus grand ou égal au le premier terme U0= (0-3) (0+1)=-3 donc Un>=-3
Enfin 5n-3 = 2.5*(2n+1) plus quelque chose :
En effet 2.5*(2n+1)=5n +2.5 donc
5n-3 = 2.5*(2n+1)-5.5
On divide par (2n+1) et on trouve
Un = (5n-3)/(2n+1) = 2.5 - 5.5/(2n+1)
On voit donc bien que Un est strictement plus petit que 2.5 et on a donc prouvé ce qu'il fallait
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