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Bonjour a tous j'espère que vous allez bien?
Je poste ce devoir car je n'y comprend pas grand chose si qulequ'un pourrais m'aider je vous en serais très reconnaissant.
En vous remerciant


Une entreprise fabrique et vend du lait infantile 1er âge. Elle peut produire chaque jour entre 0,5 et 10 tonnes de ce
produit qu’elle revend en totalité au prix unitaire de 8800 € la tonne.
Le coût de fabrication, en centaines d’euros , de x tonnes de lait est modélisé par la fonction C définie sur [0,5 ;10]
par :
C(x) = 2x3
– 15x²+52x+50
Soit B la fonction qui , à tout réel x de [0,5 ;10] associe le bénéfice ( en centaines d’euros) réalisé par la production et
la vente de x tonnes de lait.
1) Montrer que B(x) = – 2x3
+15x²+36x – 50.
2) Calculer B’(x) puis montrer que B’(x) = – 6 (x – 6 )(x +1).
3) Construire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction B.
4) Quelle est la quantité de lait que doit produire l’entreprise pour que le bénéfice soit maximal ? Quel est ce
bénéfice maximal ?

Sagot :

Réponse :

1) Montrer que B(x) = - 2 x³ + 15 x² + 36 x - 50

     B(x) = R(x) - C(x) = 88 x - (2 x³- 15 x²+52 x + 50)

            = 88 x - 2 x³ + 15 x² - 52 x - 50

            = - 2 x³ + 15 x² + 36 x - 50

 2) calculer B'(x) puis montrer que B'(x) = - 6(x - 6)(x + 1)

        B'(x) = - 6 x² + 30 x + 36

     B'(x) = - 6 x² + 30 x + 36 = 0

            Δ = 900 + 864 = 1764  ⇒ √(1764) = 42

           x1 = - 30 + 42)/-12 = - 1

           x2 = - 30 - 42)/-12 = 6

    donc  B'(x) = a(x - x1)(x- x2)  donc  B'(x) = - 6(x + 1)(x - 6)

  3) B'(x) = - 6(x+1)(x-6)  or  x + 1 > 0  donc le signe de B'(x) dépend du signe de - 6(x - 6) = - 6 x + 36

          x      0.5                                   6                             10

       B'(x)                           +                0                -

       B(x)  -28.5 →→→→→→→→→→→→→→  274 →→→→→→→→→→→- 190

                           croissante                       décroissante

4) l'entreprise doit produire 6 tonnes de lait pour avoir un bénéfice maximal ,  ce bénéfice maximal est de 274 (en centaines d'euros)  soit

27 400 €  

               

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