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Exo 23
f est une fonction polynôme, elle est donc deux fois dérivables sur IR et
[tex]f'(x)=3x^2-2x+1\\\\f''(x)=6x-2[/tex]
la dérivée seconde s'annule en x=1/3, qui est donc un point d'inflexion et
pour x>1/3 f''(x) est positif donc f est convexe
pour x<1/3 f''(x) est négatif donc f est concave.
Exo 29
1.
[tex]f'(x)=10xe^x+5x^2e^x=(10x+5x^2)e^x\\\\f''(x)=(10+10x)e^x+(10x+5x^2)e^x=5(x^2+4x+2)e^x[/tex]
2.
[tex]f'(x)=(10x+5x^2)e^x=5x(2+x)e^x[/tex]
[tex]e^x>0[/tex] donc f'(x) est du même signe que le produit x(x+2)
[tex]\left|\begin{array}{c|ccccc}\\x&&-2&&0&\\---&---&---&---&---&---\\x&-&-&-&0&+\\---&---&---&---&---&---\\x+2&-&0&+&+&+\\---&---&---&---&---&---\\f'(x)&+&0&-&0&+\\---&---&---&---&---&---\\f(x)&0 \nearrow&20e^{-2}&\searrow&0&\nearrow +\infty\\---&---&---&---&---&---\\\end{array}\right|[/tex]
3.
cela revient à étudier
[tex]x^2+4x+2=0\\\\\Delta=8=(2\sqrt{2})^2\\\\x_1=\dfrac{-4+2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}-2\\\\x_2=-\sqrt{2}-2[/tex]
Entre les racines f est concave et elle est convexe en dehors.
4.
Les points d'inflexion sont les points où la dérivée seconde s'annule.
ce sont donc les points trouvés a la question 3.
5. la courbe est ci dessous
