Réponse :
f(x) = - x² + 2 x - 2
1) étudier les variations de f sur R
f(x) = - x² + 2 x - 2
f '(x) = - 2 x + 2 ⇒ f '(x) = 0 ⇔ - 2 x + 2 = 0 ⇔ x = 1
signe de f '(x)
x - ∞ 1 + ∞
f '(x) + 0 -
f '(x) ≥ 0 sur ]- ∞ ; 1] donc f est croissante sur R
f '(x) ≤ 0 sur [1 ; + ∞[ donc f est décroissante sur R
x - ∞ 1 + ∞
f(x) - ∞ →→→→→→→→→→→→→→→ - 1 →→→→→→→→→→→→→→→→→→ - ∞
croissante décroissante
2) étudier le signe de f(x) sur R
f(x) = - x² + 2 x - 2
Δ = 4 - 8 = - 4 < 0 pas de solutions donc la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses donc le signe de f(x) dépend du signe de a
or a = - 1 donc f(x) < 0
3) étudier les variations de la fonction g définie sur R par :
g(x) = | f(x) | or f(x) < 0 donc g(x) = - f(x)
g(x) = - (- x² + 2 x - 2) = x² - 2 x + 2
g'(x) = 2 x - 2 ⇔ g(x) = 0 ⇔ 2 x - 2 = 0 ⇔ x = 1
signe de g '(x)
x - ∞ 1 + ∞
g'(x) - 0 +
g'(x) ≤ 0 sur ]- ∞ ; 1] donc g (x) est décroissante
g '(x) ≥ 0 sur [1 ; + ∞[ donc g(x) est croissante
Explications étape par étape
