bjr
exercice de lycée ou vous allez faire peur aux collégiens :)
merci donc d'éditer vos paramètres dans votre profil et passer de collège à lycée..
revenons à nos moutons
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = 4x²-3x-1
1) Vérifier que g(x) = 4 (x - 3/8)² - 25/16
ce qui est la forme canonique de g(x) - nous permet de trouver l'extremum de la fonction donc à savoir faire ..
g(x) = 4x²- 3x - 1
on factorise la 1ere partie de la fonction par 4
soit g(x) = 4 (x² - 3/4x) - 1
on remarque que (x² - 3/4x) est le début du développement de
(x - 3/8)²
mais si on développe (x - 3/8)² on aura x² - 3/4x + (3/8)² ; il faut donc retrancher ces (3/8)² de trop et on aura
g(x) = 4 [(x - 3/8)² - (3/8)²] - 1
le reste n'est plus que du calcul pour arriver au résultat demandé soit
g(x) = 4 [(x - 3/8)² - 9/64) -1
on redéveloppe la 1ere partie
g(x) = 4 (x - 3/8)² - 9/16 - 1
g(x) = 4 (x - 3/8)² - 25/16
2)Justifier que, pour tout x ∈ ]-infini;-1/4] ∪ [1;+infini[ g(x) ≥ 0 et pour tout x ∈ [-1/4;1], g(x) ≤ 0.
donc étude du signe de la fonction..
g(x) = 4x²- 3x - 1
toujours le même raisonnement à connaitre :
calcul du discriminant et des racines qui devraient être -1/4 et 1
Δ = (-3)² - 4*4*(-1) selon ton cours (b² - 4ac)
= 9 + 16 = 25 = 5²
x' = (3 + 5) / 8 = 1
x'' = (3 - 5) / 8 = -1/4
tableau de signes
x -∞ -1/4 1 +∞
x-1 - - +
x+1/4 - + +
g(x) + - +
on a bien le résultat demandé - lecture de la dernière ligne.
de mémoire, on apprend que si un polynome = ax² + bx + c
avec a positif.
polynome > 0 en dehors des racines et < 0 à l'intérieur des racines
